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00:00Je t'explique cette propriété qui n'est pas nécessairement évidente pour tous les terminales SPMAT, voire même pour des SUP.
00:05Sache qu'il est équivalent de dire que la valeur absolue d'une certaine expression est inférieure à m,
00:09où m est une constante strictement positive, bien sûr,
00:12et que f de x sans valeur absolue est encadrée entre moins m et m.
00:17Et c'est pareil si tu mets un strict là, des strict ici et des strict là.
00:21Je te donne très rapidement l'idée de la preuve et je te donne quelques applications qui vont t'aider à simplifier des calculs.
00:25Première possibilité, x est telle que l'expression f de x est supérieure ou égale à 0,
00:29alors f de x est égale à sa valeur absolue.
00:32Et donc dire que valeur absolue de f de x est inférieure à m, c'est dire que f de x est inférieure à m,
00:36mais comme c'est positif, on n'a que f de x est supérieur à 0 et donc f de x est supérieur à moins m,
00:41puisque 0 est supérieur à moins m.
00:42Et donc ces deux inégalités là s'impliquent bien l'une l'autre.
00:46Et de même si x est telle que l'expression f de x est négative,
00:48alors la valeur absolue de f de x c'est moins f de x,
00:51et donc j'ai moins f de x qui est égale à valeur absolue de f de x qui est inférieure à m,
00:56et ça équivaut bien sûr à cet encadrement,
00:58puisque comme f est négatif, on a bien que f est supérieur à moins m.
01:03Si et seulement si, moins f est supérieur à m en multipliant par moins 1,
01:07et on a donc bien équivalence des deux inégalités.
01:10Pourquoi ce résultat est utile ?
01:11Parce qu'il permet de synthétiser des doubles inégalités en une seule inégalité,
01:15avec que des termes positifs,
01:16et donc on se retrouve à simplement devoir majorer des valeurs absolues.
01:19Exemple ici, les inégalités avec cosinus et sinus entre moins 1 et 1,
01:22se résume de cette façon.
01:23Et cela s'applique aussi au sup,
01:25où on majore beaucoup plus facilement avec des valeurs absolues.
01:27L'inégalité triangulaire, c'est la life, toi bien tu sais.
01:29Autre application pour les terminales,
01:31l'inégalité de bien-aimé Chebyshev.
01:33Tonton bien-aimé, oui je vais vous embêter encore longtemps avec ça.
01:36J'ai déjà expliqué en vidéo, mais très rapidement,
01:37la condition qui est dans la probabilité, souvent,
01:40ne va pas apparaître telle qu'elle dans l'énoncé.
01:42On va passer par la condition contraire,
01:43c'est-à-dire que la valeur absolue de cette différence
01:45est inférieure strictement à delta.
01:47Tu as noté ici, il s'agit de l'événement contraire de cet événement-là,
01:50donc la proba de ça, c'est égal à 1 moins la proba de tout ça.
01:54Et ça, d'après ce qu'on a vu plus haut, c'est dire que x moins son espérance
01:57est compris entre moins delta et delta, ici j'ai mis des stricts.
02:00Qui équivaut aussi à dire que x est compris entre moins delta plus son espérance
02:03et delta plus son espérance.
02:05Et c'est souvent sous cette dernière forme
02:07que l'énoncé vous donnera des informations sur la variable aléatoire grand X.
02:10Vous pouvez être capable de faire toute cette traduction
02:12en montant les étapes, en arrivant ici,
02:14et en transformant par la probabilité de l'événement contraire,
02:17ensuite, pour pouvoir appliquer bien-aimé Chebyshev.
02:19Donc retenez bien cette propriété, les amis. Bisous !