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00:00On fait la correction de math A version psi 2025,
00:03et j'affiche l'énoncé pour que tu puisses voir un petit peu l'introduction.
00:06Et je passe à la question 1, soit f fonction continue sur R,
00:09telle que sa limite en moins l'infini et en plus l'infini vaut plus l'infini,
00:12a montrait que l'ensemble x dans R tel que f de x est inférieur à f de 0 est fermé et borné.
00:18Eh bien tout d'abord, on a que l'intervalle moins l'infini ouvert f de 0 fermé est enfermé dans R.
00:23Or l'ensemble qu'on considère, on va l'appeler A,
00:26qui est ici les x dans R tel que f de x est inférieur ou égal à f de 0,
00:29c'est l'image réciproque par f de l'intervalle moins l'infini f de 0.
00:33Mais f, on nous a dit que c'est une fonction continue.
00:35Or d'après le cours, une des caractérisations d'une fonction continue,
00:38en tout cas pour ce type de fermé au programme de psi,
00:41c'est que l'image réciproque d'un fermé est enfermé.
00:44Image réciproque par une application continue bien sûr.
00:46Donc A est fermé, check.
00:48Deuxième partie, on va aussi montrer que l'ensemble A est borné.
00:51On va supposer que A est non borné.
00:52Si A est non borné, alors on peut construire une suite xn
00:55qui tend vers plus ou moins l'infini,
00:57et tel que xn appartient à A pour tout n.
01:00C'est bien ça être non borné.
01:01Je peux trouver des valeurs qui, en valeur absolue, sont arbitrairement grandes.
01:05En particulier, j'en ai nécessairement une qui va tendre vers plus l'infini ou moins l'infini.
01:08Je ne vais pas distinguer, mais si on veut faire exactement,
01:10ça serait l'un ou l'autre.
01:12Oui, mais comme pour tout n, xn appartient à A,
01:14on a que pour tout n, f de xn est inférieur ou égal à f de 0,
01:16par définition de A.
01:17Et on a par passage à la limite que la limite de ceci,
01:21quand n tend vers plus l'infini,
01:22va être inférieure ou égale à la limite de ceci.
01:25Ce qui impliquerait que cette limite-là serait finie.
01:27Ce qui, bien sûr, est absurde.
01:29On précise que peu importe qu'on tend vers plus ou moins l'infini dans la fonction,
01:32la limite de la fonction est plus l'infini.
01:34D'après l'énoncé, et ainsi on a notre absurdité.
01:37Check.
01:38Question 1b en déduire qu'il existe x étoile appartenant à R,
01:41tel que f de x étoile est égal au minimum de f de x sur R.
01:44On a que la limite de f de x quand x tend vers plus l'infini, c'est plus l'infini.
01:47Et aussi que la limite de f de x quand x tend vers moins l'infini, c'est plus l'infini.
01:51Cela signifie qu'il existe un moment à partir duquel on est garanti de dépasser la valeur de f de 0.
01:56Autrement dit, il existe un A strictement positif,
01:59tel que pour tout x dans R,
02:00si x est strictement supérieur à A,
02:02alors on a f de x strictement supérieur à f de 0.
02:05Et de même, il existe un A' strictement positif,
02:07tel que pour tout x dans R,
02:08si x est inférieur à moins A',
02:10attention j'ai pris mon A' strictement positif,
02:13alors j'ai f de x plus grand que f de 0.
02:15N'oublions pas qu'on tend vers plus l'infini en moins l'infini.
02:18Je vais poser A' comme étant le maximum entre A et A',
02:22et donc j'ai que pour tout x dans R privé de cet intervalle,
02:25moins A' seconde A',
02:26on a que f de x est strictement plus grand que f de 0.
02:29Donc si jamais il existe un minimum,
02:31on ne l'a pas encore montré,
02:32mais si jamais il en existe un,
02:33il ne peut pas être dans cet ensemble-là.
02:35Or, moins A' seconde A'
02:37c'est un ensemble compact qui est fermé-borné,
02:39c'est un intervalle fermé-borné.
02:40Pour rappel, f est continu.
02:42Donc dessus, f est borné et atteint ses bornes,
02:44en particulier, elle atteint son minimum.
02:46Après le théorème des bornes atteintes,
02:47et donc j'ai un x étoile qui vérifie ceci,
02:50et on va montrer qu'en fait,
02:51x étoile c'est un minimum global.
02:53Déjà, on a nécessairement que f de x étoile
02:54est inférieur ou égal à f de 0,
02:56puisque 0 est dedans,
02:58et que x étoile réalise le minimum de f
03:00sur cet intervalle fermé-borné.
03:02Donc nécessairement, cela implique que x étoile
03:03appartient à notre ensemble A du début.
03:05Pour rappel, ce sont les x dans R,
03:06tels que f de x est inférieur ou égal à f de 0.
03:08Or, pour toute x n'appartenant pas à A,
03:10on a que f de x est strictement plus grand que f de 0,
03:12par définition de A,
03:14mais f de 0, c'est supérieur ou égal à f de x étoile.
03:16Donc ça veut bien dire que f de x étoile
03:18est un minimum global,
03:19puisque f de x étoile est inférieur
03:21à n'importe quelle image pour x dans cet intervalle,
03:24mais en plus pour n'importe quelle valeur de x
03:26qui n'appartient pas à A.
03:27On a donc bien montré que pour toute x dans R,
03:29f de x est supérieur ou égal à f de x étoile,
03:31d'où f de x étoile est égal au minimum de f de x pour x dans R.
03:34Check !
03:34Moi, tu me pardonneras, j'ai un peu weeping, Léa.
03:38C1 sur R est convexe,
03:40et que f' est L Lipschitzienne,
03:42pour un certain L, strictement positif.
03:45Montré que pour tout x, y dans R,
03:46la valeur absolue de f' de x moins f' de y au carré
03:50est inférieur ou égal à L fois x moins y
03:52fois f' de x moins f' de y.
03:55Sur x et y dans R,
03:56on a que f' est grand L Lipschitzienne,
03:58donc la valeur absolue de f' de x moins f' de y
04:01est inférieur ou égal à L fois la valeur absolue de x moins y.
04:04Donc je vais multiplier cette inégalité par ceci,
04:06qui me donne finalement cette inégalité
04:08qui n'est pas tout à fait ce que je veux.
04:10Mais je peux noter ici que x moins y
04:11multiplié par f' de x moins f de y est positif.
04:15Pourquoi ?
04:15Parce que fc1 est convexe.
04:17Ça signifie que sa dérivée f' est croissante.
04:19Donc f' de x et f' de y est dans le même ordre que x et y.
04:22Si x est plus grand,
04:23x moins y est positif,
04:24et donc f' de x est plus grand que f' de y.
04:27Et si c'est y qui est plus grand,
04:28et bien dans ce cas, c'est f' de y qui est plus grand,
04:30et donc on a négatif fois négatif,
04:31et donc le produit est bien positif.
04:33Il nous donne bien l'inégalité voulue.
04:34Check !
04:35Question 2b, soit x, y dans R,
04:37et soit x tilde qui est égal à x moins taux f' de x,
04:40et y tilde qui est égal à y moins taux f' de y.
04:43Je rappelle que taux est une constance strictement positive.
04:45Montrez l'inégalité affichée.
04:47Et bien je pars de la valeur absolue de x tilde moins y tilde au carré,
04:50et en remplaçant dans l'expression,
04:51j'ai bien x moins y moins taux facteur de f' de x moins f' de y
04:57entre valeur absolue au carré.
04:59Vu que je mets tout ça au carré,
05:00la valeur absolue n'est pas nécessaire,
05:01donc c'est juste l'expression au carré.
05:03Et donc je rassemble d'un côté le x moins y moins tout ça qui va être au carré.
05:08J'utilise l'identité remarquable.
05:10Je donne x moins y au carré moins 2 fois x moins y fois ceci,
05:14donc taux f' de x moins f' de y,
05:17plus le dernier terme au carré.
05:19Ce qui, quand je le réécris, me donne la valeur absolue de x moins y au carré,
05:22moins 2 fois taux fois x moins y fois f' de x moins f' de y,
05:26plus taux carré fois la valeur absolue de f' de x moins f' de y au carré.
05:29Ce n'était pas obligé, mais j'ai mis les valeurs absolues pour lier plus facilement à ce qu'on a fait avec la question précédente.
05:34Et justement, d'après la question précédente,
05:36la valeur absolue de f' de x moins f' de y au carré est majorée par ceci, juste là.
05:40Ce qui me donne que l'expression du début est inférieure ou égale à x moins y en valeur absolue au carré,
05:46moins 2 taux x moins y f' de x moins f' de y,
05:49plus taux carré fois l fois x moins y fois f' de x moins f' de y,
05:54d'après la question de a.
05:55Ce qui me donne bien cette expression après avoir factorisé par moins taux,
05:59facteur de x moins y, f' de x moins f' de y.
06:02Check !
06:03Question de dossier, on suppose de plus que f admet un minimiseur x étoile
06:06et que 0 est inférieur strict à taux qui est inférieur ou égal à 2 sur L.
06:10Montrez que la suite de valeur absolue de xn moins x étoile est décroissante.
06:14On rappelle que xn satisfait 2.
06:16C'est-à-dire que pour tout n entier naturel,
06:18on a xn plus 1 est égal à xn moins taux f' de xn.
06:23On a donc utilisé l'inégalité précédente en remplaçant x par xn et y par x étoile.
06:28Dis-nous donc toute cette inégalité.
06:29Valeur absolue de xn tilde moins x étoile tilde au carré
06:32est inférieur ou égal à valeur absolue de xn moins x étoile au carré
06:36moins taux fois 2 moins taux L xn moins x étoile fois f' de xn moins f' de x étoile.
06:43On rappelle que x étoile est un minimiseur de f,
06:45ça veut dire une valeur en laquelle on a un minimum global.
06:48Mais vu que f est c1, d'après le cours,
06:50f' de x étoile est nécessairement égal à 0
06:53vu qu'en x prime étoile, on a un minimum.
06:56Ce qui implique que x étoile est un point fixe de l'opération tilde.
06:59Donc tilde de x étoile est égal à x étoile.
07:01Donc en réécrivant tout bien, j'obtiens cette inégalité-là.
07:04Puisque pour rappel, le xn tilde-là, c'est bien xn plus 1.
07:08Et en faisant passer le valeur absolue de xn moins x étoile au carré de l'autre côté,
07:12j'obtiens cette nouvelle inégalité.
07:13Maintenant, regardons de plus près.
07:15J'ai que ceci est négatif. Pourquoi ?
07:17J'ai taux qui est strictement positif avec un signe moins ici.
07:20Et j'ai que cette expression-là est positive.
07:22Parce qu'on a supposé que taux est strictement positif,
07:24est inférieur ou égal à 2 sur l.
07:26Donc taux fois l est inférieur ou égal à 2.
07:28Donc 2 moins taux sur l est positif.
07:30Et de plus, par le même argument de convexité,
07:33j'ai que ceci est du même signe que ceci.
07:35Carre f' est croissante.
07:37En particulier, tout ça est donc positif.
07:39Et donc tout le membre de droite est bien négatif.
07:42Et donc tout ce qui est à gauche est inférieur à un truc qui lui-même est négatif.
07:45Donc ce qui est à gauche est négatif.
07:46Or, si je factorise ce qui est à gauche en reconnaissant l'identité remarquable
07:49truc au carré moins autre truc au carré,
07:52on obtient que ce produit-là est négatif.
07:54Sauf que ceci, c'est une somme de valeurs absolues.
07:56Donc c'est positif.
07:57Donc nécessairement, par la règle des signes, c'est que ceci est négatif.
08:00Qui équivaut bien à dire que la valeur absolue de xn plus 1 moins x étoile
08:03est inférieure ou égale à la valeur absolue de xn moins x étoile.
08:06Autrement dit, que cette suite est décroissante.
08:08Et check pour ça ce qui conclut le préliminaire.
08:11Je te laisse regarder mes notes dans la globalité.
08:13Et surtout, n'hésite pas, si tu as une question, à la poser en commentaire.
08:16Bisous.