📏 Que ce soit dans un magazine ou dans votre bouquin de maths de 6ème, vous êtes forcément tombé(e) un jour sur un carré magique. En général, le carré n'est pas complet et le jeu consiste à caser les nombres manquants en respectant les conditions suivantes : en additionnant les nombres d'une colonne, d'une ligne ou d'une diagonale, on doit toujours trouver le même résultat. Dans cette vidéo, on vous explique comment faire des carrés magiques de n'importe quelle taille et quel genre de maths se cache derrière. En compagnie de Chuck Norris, on parle aussi de suites mathématiques et d'hyper-cubes mais ça reste simple ! 👩🏽🔬
Vous aimeriez voir davantage de vidéos comme celle-ci ? Soutenez-nous sur Tipeee 💰 : https://fr.tipeee.com/bigbangscience
Vous aimeriez faire une vidéo avec nous ? Ou voir votre avatar dans la prochaine vidéo ? Envoyez-nous un petit message :) https://bigbangscience.fr/wp/ 😘
SOURCES ET LIENS 📔📑
Article original :
- http://sweetrandomscience.blogspot.com/2012/11/les-mathematiques-des-carres-magiques.html
Les carrés magiques en général 🔲
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_magique_%28math%C3%A9matiques%29
- http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/car_mag0.htm
- http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/CMDebut.htm
Au sujet des carrés magiques additifs ET multiplicatifs 📐
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_magique_additif-multiplicatif
Les carrés magique spéciaux ✨
- http://www.multimagie.com/
Les cubes magiques :
http://www.multimagie.com/Francais/Perfectcubes.htm#SmallestPerfect
Une chouette vidéo de MicMaths, où Mickaël Launay évoque quelques astuces utilisées par un candidat au jeu télévisé de TF1 "Les Extraordinaires" 📺
https://youtu.be/pEbAr8mbdks
Au sujet de Gauss 🤓
L' anecdote est citée dans l'éloge funèbre de Wolfgang Sartorius (un géologue allemand). Elle est sans doute fausse mais sympa quand même :
« Le jeune Gauss venait juste d'arriver dans cette classe quand Büttner donna en exercice la sommation d'une suite arithmétique. À peine avait-il donné l'énoncé que le jeune Gauss jeta son ardoise sur la table en disant « la voici ». Tandis que les autres élèves continuaient à compter, multiplier et ajouter, Büttner, avec une dignité affectée, allait et venait, jetant de temps en temps un regard ironique et plein de pitié vers le plus jeune de ses élèves. Le garçon restait sagement assis, son travail terminé, aussi pleinement conscient qu'il devait toujours l'être une fois une tâche accomplie, que le problème avait été correctement résolu et qu'il ne pouvait y avoir d'autre réponse. »
https://www.facebook.com/bigbangscicom/
https://twitter.com/BigBangSciCom
https://www.instagram.com/big_bang_science/
😘
Vous aimeriez voir davantage de vidéos comme celle-ci ? Soutenez-nous sur Tipeee 💰 : https://fr.tipeee.com/bigbangscience
Vous aimeriez faire une vidéo avec nous ? Ou voir votre avatar dans la prochaine vidéo ? Envoyez-nous un petit message :) https://bigbangscience.fr/wp/ 😘
SOURCES ET LIENS 📔📑
Article original :
- http://sweetrandomscience.blogspot.com/2012/11/les-mathematiques-des-carres-magiques.html
Les carrés magiques en général 🔲
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_magique_%28math%C3%A9matiques%29
- http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/car_mag0.htm
- http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/CMDebut.htm
Au sujet des carrés magiques additifs ET multiplicatifs 📐
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_magique_additif-multiplicatif
Les carrés magique spéciaux ✨
- http://www.multimagie.com/
Les cubes magiques :
http://www.multimagie.com/Francais/Perfectcubes.htm#SmallestPerfect
Une chouette vidéo de MicMaths, où Mickaël Launay évoque quelques astuces utilisées par un candidat au jeu télévisé de TF1 "Les Extraordinaires" 📺
https://youtu.be/pEbAr8mbdks
Au sujet de Gauss 🤓
L' anecdote est citée dans l'éloge funèbre de Wolfgang Sartorius (un géologue allemand). Elle est sans doute fausse mais sympa quand même :
« Le jeune Gauss venait juste d'arriver dans cette classe quand Büttner donna en exercice la sommation d'une suite arithmétique. À peine avait-il donné l'énoncé que le jeune Gauss jeta son ardoise sur la table en disant « la voici ». Tandis que les autres élèves continuaient à compter, multiplier et ajouter, Büttner, avec une dignité affectée, allait et venait, jetant de temps en temps un regard ironique et plein de pitié vers le plus jeune de ses élèves. Le garçon restait sagement assis, son travail terminé, aussi pleinement conscient qu'il devait toujours l'être une fois une tâche accomplie, que le problème avait été correctement résolu et qu'il ne pouvait y avoir d'autre réponse. »
https://www.facebook.com/bigbangscicom/
https://twitter.com/BigBangSciCom
https://www.instagram.com/big_bang_science/
😘
Catégorie
📚
ÉducationTranscription
00:01Les carrés magiques
00:05Vous êtes, sans doute un jour, tombé sur un carré magique comme celui-ci.
00:09En général, il manque des nombres, et vous devez le compléter de façon à ce qu'en additionnant
00:13les nombres d'une colonne, d'une ligne ou d'une diagonale, on trouve toujours le même résultat.
00:18Par exemple, ici, toutes les sommes sont égales à 15.
00:21Alors, comment ça marche ?
00:23Peut-on faire des carrés magiques avec n'importe quel nombre ?
00:26Quel genre de maths se cache derrière ?
00:28Est-il possible d'invoquer Satan avec un carré magique dessiné sur une chèvre ?
00:32C'est ce qu'on vous propose de voir dans cette vidéo, en commençant par une méthode toute simple pour faire des carrés magiques.
00:38On va parler aussi de suites mathématiques, mais ce sera très simple aussi, promis.
00:49Les carrés magiques sont connus depuis belle lurette.
00:52On sait que les Chinois jouaient déjà avec en moins de 650.
00:55On en trouve ensuite chez les Indiens et chez les Arabes qui furent probablement les premiers à les considérer comme des objets mathématiques.
01:01Au XVIIe siècle, le diplomate français Simon de la Loubert rapporta du Siam le terme carré magique.
01:08Finalement, en 1945, Chuck Norris tua le game en parvenant à faire un carré magique infini en utilisant que des lettres.
01:16Pour faire un carré magique, il existe plusieurs techniques.
01:20Celle qu'on vous montre aujourd'hui, on la tient de Serge Frère, l'instit de CM2 le plus cool du monde, à qui nous dédicassons cette petite vidéo.
01:28Elle permet de faire des carrés magiques avec un nombre impair de lignes et de colonnes.
01:32Pour commencer, on va partir de l'exemple du début.
01:35Un carré magique avec trois colonnes et trois lignes.
01:38En maths, on dit que c'est un carré d'ordre 3.
01:41Et pour faire très simple, on va le remplir avec les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
01:48Remarquez que ces nombres se suivent de façon logique.
01:52C'est la première condition pour faire un carré magique, on reviendra là-dessus un peu plus tard.
01:56Pour l'instant, voyons comment il faut les arranger de façon à ce que le carré soit magique.
02:02On commence par rajouter des cases à l'extérieur du carré.
02:05Puis on remplit les diagonales en disposant les nombres dans l'ordre.
02:09Ensuite, on déplace les nombres situés à l'extérieur dans la case opposée et on efface les cases extérieures.
02:17Et voilà un premier carré magique où toutes les sommes sont égales à 15.
02:22Ce nombre est appelé constante magique.
02:25Cette constante magique, on peut la calculer à l'avance.
02:28Elle est égale à la somme de tous les nombres du carré divisé par l'ordre du carré.
02:32Ici, ça fait donc 1 plus 2 plus 3 plus 4 plus 5 plus 6 plus 7 plus 8 plus 9 divisé par 3 égale 45 divisé par 3 égale 15.
02:41Il y a une façon beaucoup plus simple de calculer la constante magique, mais gardons ça pour la fin de la vidéo.
02:46Ce n'est pas la seule façon d'arranger les nombres de 1 à 9 pour former un carré magique.
02:51On peut par exemple faire pivoter ce carré, qui restera magique, ce qui donne déjà 4 variantes.
02:58Et en prenant les images de ces carrés magiques dans un miroir, on obtient 4 autres carrés magiques.
03:04En tout, cela donne 8 possibilités pour un carré magique d'ordre 3.
03:09Cette méthode peut être utilisée pour construire d'autres carrés magiques.
03:13Comme on l'a dit, il suffit pour cela que les nombres se suivent, de façon logique.
03:17En maths, on appelle ça une suite.
03:20Il existe plusieurs sortes de suites.
03:22Les plus simples, ce sont les suites arithmétiques, où l'on passe d'un nombre à l'autre en ajoutant toujours le même nombre.
03:28Par exemple, dans la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, on passe d'un nombre au suivant en ajoutant 1 à chaque fois.
03:38Les nombres obtenus sont appelés termes.
03:41Le nombre que l'on rajoute est appelé raison.
03:45La raison peut être n'importe quel nombre. Elle n'a pas besoin d'être un nombre entier, ni même un nombre positif, ni même un nombre réel, mais on n'en parlera pas dans cette vidéo.
03:54Et vous pouvez partir de n'importe quel premier terme.
03:58Par exemple, vous pouvez prendre 3 milliards comme premier terme et une raison de moins 3,14.
04:07Revenons au carré magique.
04:09Vous pouvez partir de n'importe quelle suite arithmétique en utilisant la méthode décrite précédemment.
04:14Vous arriverez toujours à construire un carré magique.
04:18Vous pouvez aussi simplement reporter les nombres dans l'ordre, en suivant l'ordre de référence du premier carré magique.
04:29Bon, ça c'est pour les carrés magiques d'ordre 3.
04:31Mais si on veut en construire un plus grand, eh bien, c'est presque pareil.
04:35Voici par exemple les étapes de construction d'un carré magique d'ordre 7.
04:39Pour faire très simple, on va utiliser la suite arithmétique de raison 1 avec un premier terme égal à 1.
04:451, 2, 3, 4, 5, etc. jusqu'à 49.
04:49Comme tout à l'heure, on commence par rajouter des cases à l'extérieur du carré.
04:53Puis on les remplit dans l'ordre comme dans le premier exemple.
04:59Pour remplir le carré, on permute les éléments par blocs.
05:02On peut commencer par les blocs de deux nombres.
05:06On permute ensuite les nombres restants en les plaçant à l'opposé comme tout à l'heure.
05:11Bon, on vous le fait en accéléré parce que c'est un peu chiant quand même.
05:16Et voilà, un superbe carré magique d'ordre 7 avec une constante magique de 175.
05:23Effacer quelques nombres et filer ça à vos garnements, ça les occupera quelques heures.
05:28À moins qu'ils s'appellent Chuck.
05:30Comme précédemment, vous pouvez également faire pivoter ce carré et utiliser les images miroir pour obtenir quelques variantes.
05:37Dans tous les cas, vous remarquerez peut-être qu'un seul nombre ne bouge jamais, c'est le nombre central, ici le 25.
05:43Et ce n'est pas n'importe quel nombre, c'est le terme du milieu de la suite qui est aussi la moyenne de tous les nombres de la suite.
05:54Maintenant que vous êtes au taquet sur les suites arithmétiques, parlant d'un autre genre de suite, les suites géométriques.
06:00Dans les suites géométriques, on passe d'un terme au suivant en multipliant et non en additionnant.
06:07On multiplie toujours par le même nombre qui est aussi appelé raison.
06:11Par exemple, on peut décrire la suite de raison 2 et de premier terme égal à 2 bien connus des geeks.
06:172, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, etc.
06:24Comme précédemment, on peut choisir n'importe quelle raison et n'importe quel premier terme.
06:28Mais pourquoi on parle de ça ?
06:31Et bien figurez-vous qu'on peut aussi construire des carrés magiques avec des suites géométriques.
06:36Pour ça, on fait exactement comme au début de cette vidéo.
06:40Mais cette fois, c'est le produit, la multiplication, des nombres des colonnes des lignes et des diagonales qui sera constant.
06:46Prenons comme exemple la suite 2, 4, 8, 16, etc.
06:50On commence par prendre 9 nombres consécutifs de la suite.
06:54Ici, on va prendre les nombres de 8 à 2048.
06:56En suivant la même méthode, on construit un carré magique géométrique.
07:03Dans ce carré, la constante magique, c'est-à-dire la multiplication des nombres de chaque colonne ligne ou diagonale, est toujours égale à 2 097 152, c'est-à-dire 2 à la puissance 21.
07:18Pour rappel, 2 à la puissance 21, c'est 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, avec 21 2.
07:32Pour mieux visualiser cette histoire de puissance, on peut écrire le carré magique en utilisant des puissances de 2.
07:40Cette propriété est intéressante car cela veut dire qu'on peut passer d'un carré magique arithmétique, c'est-à-dire additif, à un carré magique géométrique, c'est-à-dire multiplicatif, très facilement.
07:51Il suffit de prendre un nombre, 2 dans notre exemple, et de l'élever à la puissance indiquée dans la case du carré magique additif pour obtenir le carré magique multiplicatif.
08:02On peut compliquer encore un peu en construisant des carrés magiques additifs et multiplicatifs.
08:10Comme dans ce carré magique qui possède une constante additive de 840 et une constante multiplicative de 2 milliards 58 millions 68 milliards 231 millions 856 milles.
08:22Mais bon, on ne va pas rentrer dans le détail, on vous met des liens à la fin de la vidéo si vous souhaitez en savoir plus.
08:27Dans cette vidéo, on a vu comment construire des carrés magiques d'ordre impair, mais il existe aussi des carrés d'ordre pair.
08:34Voici par exemple un carré magique d'ordre 4, gravé sur une pierre du temple Parshvanath Jain à Khadju Haro, en Inde, et sa transcription.
08:45Les méthodes de construction sont un peu plus complexes, alors on vous laisse creuser le sujet.
08:50Maintenant que vous êtes un pro du carré magique, vous allez pouvoir passer à la suite.
08:54Les cubes magiques
08:57La méga-star des maths Pierre de Fermat a été parmi les premiers à s'y intéresser.
09:02Le principe reste le même.
09:04Mais cette fois, non seulement les faces du cube sont des carrés magiques partageant la même constante magique,
09:09mais les sommes le long des diagonales du cube sont aussi égales à cette constante magique.
09:14Après les cubes magiques, les mathématiciens ont imaginé des hypercubes magiques de dimension supérieure à 3.
09:21Cette fois, il faut prendre du LSD pour se représenter ce que ça donne, mais les mathématiques ne s'embarrassent pas de tels détails.
09:27Pour finir, revenons à cette histoire de constante magique.
09:32Comme on l'a dit, la constante est égale à la somme de tous les termes de la suite divisé par l'ordre du carré.
09:38C'est un peu chiant à calculer pour un nombre d'ordre 3, alors imaginez le bordel pour un carré d'ordre 89.
09:43Heureusement, il y a une façon très simple et élégante pour calculer la somme des termes d'une suite arithmétique.
09:50Comme la pomme de Newton ou le bain d'Archimède, cette formule à sa petite légende.
09:55C'est Carl Friedrich Gauss, le Mozart des maths, qui aurait trouvé cette méthode de calcul alors qu'il était enfant.
10:02Un jour de classe, le maître avait donné comme exercice d'additionner les nombres de 1 à 100, histoire de s'offrir quelques instants de répit.
10:10Alors que ses camarades de classe galéraient à additionner les nombres 1 à 1, le jeune Gauss avait réglé l'affaire en 30 secondes.
10:19Comment le petit Carl Friedrich s'y était-il pris pour faire en 30 secondes ce qui occuperait une classe un bon quart d'heure ?
10:26Le petit génie avait trouvé une belle astuce.
10:29En écrivant la somme deux fois, une première fois dans l'ordre, une seconde fois à l'envers,
10:34il avait remarqué que les termes formaient des paires dont la somme était constante.
10:38Dans notre cas, ça fait 101.
10:41Ainsi disposé, il est facile de calculer la somme des termes.
10:45Toutes les paires ont une somme égale à 101.
10:48Combien y a-t-il de paires ? Il y en a 100.
10:51On a écrit tous les nombres entiers de 1 à 100.
10:54Deux sommes sont donc égales à 100 fois 101.
10:58Et la somme est donc égale à 100 fois 101 divisé par 2.
11:02Plus généralement, la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique additive est obtenue en additionnant le premier et le dernier terme,
11:13en multipliant ce résultat par le nombre de termes et en le divisant par 2.
11:16Voilà, c'est tout pour aujourd'hui.
11:20On va vous laisser jouer et nous prévenir si vous faites une découverte de malade sans prendre de LSD.
11:26On vous met aussi quelques liens si vous voulez en savoir plus.
11:28Abonnez-vous !